Poisson-Boltzmann equation의 평판 적용

1. Poisson-Boltzmann equation의 간단한 케이스인 평판에 적용하고자 함.
2. 무한히 펼쳐진 평판의 경우, 대칭에 의해 평판 위의 y 및 z 방향에 대해서는 potential이 변화하지 않음.
   즉 기존 Poisson-Boltzmann equation에서 y와 z는 상수로 작용.

3. 

   기존 Poisson-Boltzmann equation

                                      

   

   평판에서의 Poisson-Boltzmann equation

4. 위 식을 general하게 적용하기에 앞서 low potential 케이스에 대해 다루는 것이 좋다고 함.
5. Low potential은 e |ψ| << kBT 인 경우이며, room temperature 기준 ψ ≤ 25 mV임.
   이렇게 구한 결과는 50-80 mV의 약간 더 높은 전압의 경우에도 적용된다고 함.
6. 변수 ψ 가 무척 작은 low potential 케이스에서 위의 3번 항의 exponential function은 series(급수, 수열의 합)로 나타낼 수 있다. 이 때 뒷 항들은 무시될 수 있으며, 아래 식과 같이 간단히 나타낼 수 있음.

7. 

   평판 및 저전위 조건에서의 간략화 된 Poission-Boltzmann equation, linearized Poisson-Boltzmann equation이라고도 함.

8. 위 식에 대한 일반해는

C1 및 C2는 상수 (boundary cond.에 의해 결정)