위는 곡선 C: r벡터로 표현된 곡선에서 곡률을 구하는 공식이다. 이에 대한 설명은 다음 블로그에 잘 증명이 되어 있으니 참고. https://m.blog.naver.com/PostView.naver?isHttpsRedirect=true&blogId=mindo1103&logNo=90103467360

f(x) = tan^(-1)(x)라 하자 그럼 f(tanx) = x이고, 이를 미분하면 f'(tanx)sec^2(x) = 1이 된다. 즉, f'(tanx)=cos^2(x)이다. 근데, tan(f(x)) = x 이므로, f(x)를 각도라 생각하면 아래와 같이 나타낼 수 있고, cos(f(x)) = (1+x^2)^(-1/2)이다. 위 식 f'(tanx)=cos^2(x)의 x에 f(x)를 대입하면, f'(x)=cos^2(f(x))=(1+x^2)^(-1)이 된다. (1+x^2)^(-1)를 멱급수로 나타내면 1-x^2+x^4-x^6+x^8-...이고, 이를 적분하면, f(x)=integral(1-x^2+x^4-x^6+x^8-...)=C+x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+x^9/9-...이 된다. tan^(-1)..

아래와 같은 멱급수가 주어졌을 때, 아래의 멱급수가 수렴할 지를 판단해보자 상황 1. (n+1번째 항)을 (n번째 항)으로 나눈 값의 극한 값이 -1과 1 사이에 있는 경우 -> 절대수렴 이럴 경우 주어진 멱급수는 '절대수렴' 한다. 상황 1을 달리 표현하면, 즉, 아래와 같은 조건일 때, 주어진 멱급수는 절대수렴한다. a나 Cn이 정해져 있다면, 위 멱급수가 수렴하는 x 값의 범위를 알 수 있다. R은 '수렴반경' 이라고 한다. 상황 2. (n+1번째 항)을 (n번째 항)으로 나눈 값의 극한 값의 절댓값이 1보다 큰 경우 -> 발산 이 경우, 주어진 멱급수는 '발산' 한다. 즉, 아래와 같은 조건일 때, 주어진 멱급수는 발산한다. 상황 3. (n+1번째 항)을 (n번째 항)으로 나눈 값의 극한 값의 절..

급수: 수열의 합 (유한급수와 무한급수가 있다.) 멱수열: 등차수열 + 등비수열. ex) 1x2, 2x4, 3x8, 4x16,... 멱급수: 멱수열의 합 ex) 1x2 + 2x4 + 3x8 + 4x16 + ... 테일러 급수 또한 멱급수에 속함 또 다른 멱급수의 정의

1/(1-x)는 종종 멱급수로 사용되는 것 같음. 이를 멱급수로 나타내는 방법은 아래와 같이 초등학교나 중학교때 배운 나눗셈을 하면 됨. 결과적으로, 이 때 x앞에 상수가 붙어도 위 관계는 유지되므로 아래와 같이 활용도 가능함. 출처 http://www.kmooc.kr/courses/course-v1:SKKUk+SKKU_EXGB506_01K+2022_T1/courseware/5a2eb70aa8a84f1f9fd72d8c0109a027/2b4aa2111c65427ea3a7c2ef3a8f24e6/

로피탈 정리 상황 1: 두 함수의 극한 값이 0으로 수렴할 것 상황 2: 분모가 되는 함수의 미분 값이 0이 아닐 것 상황 3: 함수 f, g에 대하여 x=a 근방에서 Taylor 급수 전개 가능 일 때, 로피탈 정리를 적용하는 것이 가능하다. 증명 1. 로피탈 정리의 좌항을 Talyer급수를 이용하여 x=a에서 나열을 하면 아래와 같이 나타낼 수 있다. 2. 이 때 상황 1에 의하여 f(a) = g(a) = 0 이므로 이를 제거하고, 전체를 (x-a)로 나누어 표현하면, 3. f'(a) 및 g'(a)를 제외한 항은 모두 0으로 사라지므로, 로피탈 정리가 완성된다. 출처 http://www.kmooc.kr/courses/course-v1:SKKUk+SKKU_EXGB506_01K+2022_T1/course..