로피탈 정리
2022. 11. 4. 14:13ㆍ뚝딱이의 공부/미분과 적분
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로피탈 정리
상황 1: 두 함수의 극한 값이 0으로 수렴할 것
상황 2: 분모가 되는 함수의 미분 값이 0이 아닐 것
상황 3: 함수 f, g에 대하여 x=a 근방에서 Taylor 급수 전개 가능
일 때, 로피탈 정리를 적용하는 것이 가능하다.
증명
1. 로피탈 정리의 좌항을 Talyer급수를 이용하여 x=a에서 나열을 하면 아래와 같이 나타낼 수 있다.
2. 이 때 상황 1에 의하여 f(a) = g(a) = 0 이므로 이를 제거하고, 전체를 (x-a)로 나누어 표현하면,
3. f'(a) 및 g'(a)를 제외한 항은 모두 0으로 사라지므로, 로피탈 정리가 완성된다.
출처
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