멱급수의 수렴성 (convergence of power series)

아래와 같은 멱급수가 주어졌을 때, 아래의 멱급수가 수렴할 지를 판단해보자

주어진 멱급수

 

상황 1. (n+1번째 항)을 (n번째 항)으로 나눈 값의 극한 값이 -1과 1 사이에 있는 경우 -> 절대수렴

상황 1에 대한 식

이럴 경우 주어진 멱급수는 '절대수렴' 한다.

상황 1을 달리 표현하면, 

상황 1의 다른 표현

즉, 아래와 같은 조건일 때, 주어진 멱급수는 절대수렴한다.

멱급수 수렴의 조건

a나 Cn이 정해져 있다면, 위 멱급수가 수렴하는 x 값의 범위를 알 수 있다.

R은 '수렴반경' 이라고 한다.

상황 2. (n+1번째 항)을 (n번째 항)으로 나눈 값의 극한 값의 절댓값이 1보다 큰 경우 -> 발산

상황 2에 대한 식

이 경우, 주어진 멱급수는 '발산' 한다.

즉, 아래와 같은 조건일 때, 주어진 멱급수는 발산한다.

멱급수 발산의 조건

상황 3. (n+1번째 항)을 (n번째 항)으로 나눈 값의 극한 값의 절댓값이 1인 경우 -> 결정 못함(no decision)

상황 3에 대한 식

이 경우, 주어진 멱급수의 수렴여부를 판단하는 것은 어렵다. (다른 방법을 사용하여 풀 수도 있음, 못 풀 수도 있고..)

이 경우 조건은 다음과 같다.

멱급수 수렴 판정 어려움