파이 값을 구하는 법 (Maclaurin 함수 이용)

f(x) = tan^(-1)(x)라 하자

 

그럼 f(tanx) = x이고,

이를 미분하면 f'(tanx)sec^2(x)  = 1이 된다.

즉, f'(tanx)=cos^2(x)이다.

 

근데, tan(f(x)) = x 이므로, f(x)를 각도라 생각하면 아래와 같이 나타낼 수 있고,

cos(f(x)) = (1+x^2)^(-1/2)이다.

 

위 식 f'(tanx)=cos^2(x)의 x에 f(x)를 대입하면,

f'(x)=cos^2(f(x))=(1+x^2)^(-1)이 된다.

 

(1+x^2)^(-1)를 멱급수로 나타내면 1-x^2+x^4-x^6+x^8-...이고,

이를 적분하면,

f(x)=integral(1-x^2+x^4-x^6+x^8-...)=C+x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+x^9/9-...이 된다.

tan^(-1)(0)=0이므로 C=0이다

 

tan(pi/4)=1임을 이용해서 위 식 x에 1을 대입하면,

pi/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+...이 된다.

 

멱급수의 항이 점점 감소하므로 특정 점점 오차가 작아지는 pi값을 구할 수 잇다.